Fractales, números y paradojas

“Las formas fractales, las formas en las que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que sólo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio).”

El binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo, lo que pasa es que muy poca gente se da cuenta.
—Fernando Pessoa

“Con lo único que me siento feliz es con las matemáticas. La nieve, el hielo, las cifras. Para mí, el sistema numérico es como la vida humana. Primero están los números naturales, los que son enteros y positivos. Son los números de un niño pequeño. Pero la conciencia humana se amplía y el niño descubre el deseo. ¿Saben cuál es la expresión matemática para el deseo? Los números negativos: la formalización de la sensación de que te falta algo. Entonces el niño descubre los espacios intermedios entre las piedras, entre las personas, entre los números, y aparecen las fracciones. Es como una especie de locura, porque nunca se llega al final, nunca se detienen allí. Hay números que no podemos ni empezar a comprender. Las matemáticas son un paisaje inmenso y abierto. Te diriges hacia el horizonte que siempre retrocede. Como en Groenlandia. Y yo soy incapaz de vivir sin eso. Por eso no puedo estar encerrada”. Éstas son las palabras de la protagonista del filme Smilla, misterio en la nieve, una matemática fascinada por los fractales de la nieve y el infinito. La película se centra en la cosmovisión de esta mujer para quien el vínculo entre vida y matemática, y más concretamente, entre la existencia y los números es vital.

Para comprender un poco más la pasión de Smilla empecemos por saber de qué se trata un fractal y luego pasemos a los números. Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

Los matemáticos clasifican los números en reales, racionales, irracionales… pero también nombran a los números con diversos adjetivos: capicúas, perfectos, amigos, triangulares, cuadrados, cúbicos, mágicos, felices, primos, etcétera.

Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.

Las formas fractales, las formas en las que las partes se asemejan al todo, están presentes en la materia biológica, junto con las simetrías (las formas básicas que sólo necesitan la mitad de información genética) y las espirales (las formas de crecimiento y desarrollo de la forma básica hacia la ocupación de un mayor espacio). También las formas más sofisticadas en el desarrollo evolutivo de la materia biológica en cuanto que se presentan en procesos en los que se producen saltos cualitativos en las formas biológicas, es decir, posibilitan catástrofes (hechos extraordinarios) que dan lugar a nuevas realidades más complejas, como las hojas que presentan una morfología similar a la pequeña rama de la que forman parte que, a su vez, es similar a la forma del árbol, y sin embargo cualitativamente no es lo mismo una hoja (forma biológica simple), que una rama o un árbol (forma biológica compleja).

Los fractales se usan tanto en la composición armónica y rítmica de una melodía como en la síntesis de sonidos. Son motivos también de contacto entre el arte y la ciencia, un ejemplo de eso es el científico-poeta chileno-alemán Mario Markus.

En las artes gráficas los fractales aparecen en programas informáticos como Apophysis o Ultra Fractal, con los que se pueden hacer imágenes fractales con técnicas muy diversas; cambiando parámetros, variando la geometría de triángulos o con transformaciones aleatorias (a veces llamadas “mutaciones”).

Sigamos encantados con la fascinación de Smilla y dejémonos hechizar por los siguientes pensamientos:

Un punto es lo que no puede dividirse. Una línea es una longitud sin anchura.

No podemos negar que éstos son conceptos poéticos.

¿Y si nos lanzamos a una frase como la siguiente?

DÁBALE ARROZ A LA ZORRA EL ABAD

¿Qué tiene de particular? ¿Qué la hace única y misteriosa? Es una frase juguetona, es lo que en matemática se define como “palíndromo”. ¿Una frase construida matemáticamente o narrativamente calculada?

Los matemáticos clasifican los números en reales, racionales, irracionales… pero también nombran a los números con diversos adjetivos: capicúas, perfectos, amigos, triangulares, cuadrados, cúbicos, mágicos, felices, primos, etcétera.

Los números palindrómicos suelen llamarse “capicúas”. Los aficionados a los juegos de palabras, así como los numerólogos se han interesado desde siempre por la palindromía de todo tipo, seguramente debido al placer estético que nos causa la peculiar simetría de los palíndromos.

“Dábale arroz a la zorra el abad” es una frase palindrómica o capicúa, puede leerse de derecha a izquierda o de izquierda a derecha y en cualquiera de las dos formas dice exactamente lo mismo. Hagan la prueba y verán que es cierto.

Los palíndromos surgen en los lugares y disciplinas más inesperadas: hay melodías que pueden ejecutarse desde el final hacia delante o desde adelante hacia el final y suenan igual; hay dibujos y pinturas concebidos con simetría axial; casi todos los animales muestran simetría bilateral —simetría con respecto a un plano—, especialmente el hombre.

De palíndromos a paradojas

Hay otro fenómeno fronterizo entre la matemática y la literatura, entre la matemática y la lógica, entre la matemática y la filosofía: la paradoja.

Al matemático y filósofo Bertrand Russell le fascinaban las paradojas y pasó mucho tiempo de su vida dedicado a disfrutarlas. Como también era un amante de la literatura resultó hechizado por una novela de Laurence Sterne llamada “Vida y opiniones del caballero Tristram Shandy”.

En su obra Misticismo y lógica, Bertrand Russell se refería a la “paradoja Shandy” de este modo:

Tristram Shandy, como se sabe, invirtió dos años para hacer la crónica de los dos primeros días de su vida, y se lamentaba de que a ese ritmo el material se acumularía más rápidamente de lo que él era capaz de elaborarlo, de suerte que con el paso de los años cada vez estaría más lejos del final de su relato. Ahora bien; yo sostengo que si él hubiese vivido eternamente sin sentirse cansado de su trabajo, entonces, aun en el caso de que su vida hubiese estado tan repleta de acontecimientos como cuando comenzó, ninguna parte de su biografía habría quedado sin escribirse. En efecto: el día centésimo será escrito en el año centésimo, el día milésimo en el año milésimo, y así sucesivamente. Cualquier día que elijamos, tan lejano que se pierdan las esperanzas de llegar a él, ese día será descrito en el año correspondiente. Así, cualquier día que pueda mencionarse será escrito más tarde o más temprano, y, por ende, ninguna parte de la biografía quedará permanentemente por escribir. Esta proposición paradójica, pero perfectamente verdadera, depende del hecho de que el número de días de todo el tiempo no es mayor que el número de años.

Tristram Shandy es un personaje de la obra del novelista inglés Laurence Sterne, quien publicó la novela más insólita, sorpresiva y revolucionaria del siglo XVIII: Vida y opiniones del caballero Tristam Shandy.

El mismo protagonista del relato es quien se dispone a contar su vida, pero no puede jamás concluirla por dos razones: porque sigue viviéndola y se prolonga en el tiempo sin que el relato la alcance, y porque la índole de la novela es absolutamente digresiva y su narración toma todos los caminos laterales más inverosímiles. Las opiniones de Tristram son desopilantes, tanto como los recursos formales del libro en el que hay capítulos de una sola línea, otros en blanco para que los redacte el propio lector y otros escritos en cuatro idiomas.

La novela Tristram Shandy es una obra sobre la colisión entre lenguaje y conciencia. Mientras el narrador relata su historia, se le ocurren constantemente nuevos pensamientos, de forma que las reiteradas asociaciones de ideas van arruinando paulatinamente el texto que escribe y lo convierten en un, aparente, paisaje en ruinas.

La novela Tristram Shandy es una obra sobre la colisión entre lenguaje y conciencia. Mientras el narrador relata su historia, se le ocurren constantemente nuevos pensamientos, de forma que las reiteradas asociaciones de ideas van arruinando paulatinamente el texto que escribe y lo convierten en un, aparente, paisaje en ruinas. El pensamiento es más rápido que la escritura. Por eso el narrador pronto se encuentra con un texto en el que lo que deber ser relatado toma la forma de una masa inmensa y en permanente aumento que empuja hacia adelante. Esto se hace evidente desde las primeras páginas: en realidad, el narrador Tristram quiere iniciar la historia de su vida por el principio de los principios, pero inmediatamente cae en la cuenta de que también este hecho tiene su propia historia, que es necesario relatar.

Sterne, su autor, lo sabía tan bien como lo sabía el personaje Tristram, que el problema era escribir diez veces más rápido de lo que había vivido y cien veces más rápido de lo que estaba viviendo a fin de admitir su vida en su obra: así se condenaba a escribir como un esclavo y a dejar de vivir.

El padre de Tristram, Walter Shandy, descubrió que la tristrampedia que estaba escribiendo por la educación de su hijo resultaba inútil porque a medida que escribía (y le costaba mucho) su hijo iba creciendo y superando las etapas sobre las que estaba disertando. Y Tristram se encuentra con que jamás podrá llegar a terminar de contarnos su vida, ya que sus digresiones —necesarias para que la comprendamos— le obligan a escribir siempre por detrás de los acontecimientos. Dado que esta narración previa exige asimismo algunos comentarios, se va retrotrayendo cada vez más y paulatinamente acaba en una suerte de meandro laberíntico de historias.

Las clases de personas y las paradojas

A la paradoja la podemos entender en dos sentidos: uno más amplio, como aquello que va en contra de la opinión general y otro, más concreto, como aquello que encierra contradicción. Es este segundo sentido el más querido en matemáticas, aunque el primero no deja de tener su interés.

Vamos a jugar un poco con el segundo sentido de las paradojas para hacer la delicia de los matemáticos. Analicemos estas tres afirmaciones con aroma contradictorio:

1) Hay tres clases de personas: las que saben contar y las que no.

2) Hay dos grupos de personas en el mundo; aquellos que creen que el mundo puede ser dividido en dos grupos de personas, y aquellos que no lo creen.

3) Hay dos grupos de personas en el mundo: aquellos que pueden ser categorizados en uno de dos grupos de personas, y aquellos que no.

¿Cuáles son las posibles lecturas de estas afirmaciones?

1) Ésta nos dice que el autor de la frase no sabe contar. No hay contradicción, aunque sí sorpresa. Se podría hacer la observación que en realidad son tres las clases de personas, y no dos.

2) Evidentemente, quien escribe pertenece al primer grupo. No hay contradicción, aunque sí sorpresa, y cierta sensación de caída en una secuencia infinita. Aquí podríamos señalar con razón que la segunda de las estrofas no es una paradoja completa, y sugerir añadir la frase “Yo pertenezco a este último grupo”.

3) Éste es el ejemplo que más se acerca a la paradoja en el sentido de contradicción, aunque tampoco lo es: en realidad es una demostración de que el conjunto de las personas que no pueden ser categorizadas en dos grupos es el conjunto vacío.

La paradójica Mafalda

Las tiras de Mafalda, del dibujante y escritor Quino, tienen momentos matemáticos y paradójicos memorables, traemos algunos de ellos para sonreír un rato.

La pequeña Libertad y el triángulo

Mafalda y los porcentajes

Manolito y el orden de los factores

De las paradojas a los laberintos

Habíamos observado que la narración del relato de Tristram Shandy exigía constantemente algunos comentarios paralelos al margen, y así su escritura se iba retrotrayendo cada vez más y paulatinamente acababa en una suerte de laberinto de historias.

Los laberintos son “construcciones” u “objetos” muy queridos por los matemáticos, los escritores y los artistas en general.

Existe un procedimiento mecánico —un algoritmo, para usar un término matemático— que puede solucionar los laberintos, es decir, encontrar una salida, incluyendo los que están conectados en forma múltiple, con circuitos cerrados que rodean la meta.

Su mejor formulación se da en el libro de Edouard Lucas Recréations mathématiques (vol. 1, 1882) y aquí les pasamos las instrucciones —por si quedan atrapados en uno:

Conforme camina a través de un laberinto, dibuje una línea en un costado del camino, digamos a la derecha. Cuando llegue a una nueva unión de caminos, tome el que desee. Si al caminar a lo largo de un sendero, regresa a una unión que previamente ha visitado, o llega a un callejón sin salida, dé la vuelta y regrese por donde llegó. Si al caminar a lo largo de un camino anterior, ya recorrido (un camino marcado sobre la izquierda), llega a una unión ya visitada, tome un nuevo camino, si uno está disponible; de otra manera tome uno de los viejos caminos. Nunca entre a un camino que esté marcado por ambos lados.

Cómo debemos irnos tomamos el hilo de Ariadna y nos vemos la próxima

Entre fractales y números, desentrañando palíndromos y arremetiendo con las paradojas salimos de los grandes laberintos, si hay algo que siempre debemos agradecerle a la matemática, a la literatura, al arte y a la naturaleza es la inmensidad de mundos que nos abren a cada instante alimentando constantemente nuestra capacidad de asombro. ®